Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (3 x + 4 x^{2})$

Schritt 1

Schreibe $x \ln (3 x + 4 x^{2})$ als $\frac{\ln (3 x + 4 x^{2})}{\frac{1}{x}}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 4 x^{2})}{\frac{1}{x}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (3 x + 4 x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (3 x + 4 x^{2})$ ohne Schranke ab.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.3

Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner sich $0$ nähert, wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, geht der Bruch $\frac{1}{x}$ gegen unendlich.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 4 x^{2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x + 4 x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 4 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 4 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 4 (2 x))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 8 x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.10.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 8 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{3 x + 4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.10.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x + 4 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.10.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{x \cdot 3 + 4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.10.2.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{x \cdot 3 + x (4 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.10.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 3 + x (4 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{x (3 + 4 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.10.3

Mutltipliziere $3 + 8 x$ mit $\frac{1}{x (3 + 4 x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.11

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Schritt 2.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{- x^{- 2}}$

Schritt 2.3.13

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)} (- x^{2})$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(3 + 8 x) x^{2}}{x (3 + 4 x)}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $(3 + 8 x) x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((3 + 8 x) x)}{x (3 + 4 x)}$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((3 + 8 x) x)}{x (3 + 4 x)}$

Schritt 2.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(3 + 8 x) x}{3 + 4 x}$

Schritt 2.7

Stelle die Faktoren in $- \frac{(3 + 8 x) x}{3 + 4 x}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (3 + 8 x)}{3 + 4 x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (3 + 8 x)}{3 + 4 x}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x (3 + 8 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} 3 + 8 x}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (lim_{x \to 0^{+}} 3 + lim_{x \to 0^{+}} 8 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + lim_{x \to 0^{+}} 8 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Schritt 3.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + lim_{x \to 0^{+}} 4 x}$

Schritt 3.8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 + lim_{x \to 0^{+}} 4 x}$

Schritt 3.9

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 + 4 lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 + 4 lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{3 + 4 lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{3 + 4 \cdot 0}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3 + 4 \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Stelle die Terme um.

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{3 + 0 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)$ heraus.

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 + 0 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1) + 0 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $0 \cdot 4$ heraus.

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1) + 3 (0 \cdot 4)}$

Schritt 5.1.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (0 \cdot 4)$ heraus.

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1 + 0 \cdot 4)}$

Schritt 5.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1 + 0 \cdot 4)}$

Schritt 5.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{1 + 0 \cdot 4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0$ mit $3 + 8 \cdot 0$ .

$- \frac{0}{1 + 0 \cdot 4}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$- \frac{0}{1 + 0}$

Schritt 5.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 0$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$