Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x + 4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 9}$ in zwei Brüche.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 4

Sei $u = x^{2} + 9$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x^{2} + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Stelle $x^{2}$ und $9$ um.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Schritt 10.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$\ln (| u |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$