Analysis Beispiele

$\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{3 x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{3 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 4 x^{6}$ heraus.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3}) + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 x^{5}$ heraus.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3}) + x^{3} (4 x^{2}) - 3 x^{3}}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3}) + x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} \cdot - 3}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.1.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (- 4 x^{3}) + x^{3} (4 x^{2})$ heraus.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2}) + x^{3} \cdot - 3}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.1.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2}) + x^{3} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$ heraus.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3))}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3))}{x^{2} \cdot 1}]$

Schritt 1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3))}{x^{2} \cdot 1}]$

Schritt 1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)}{1}]$

Schritt 1.2.2.2.4

Dividiere $x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3] + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} (x (- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x (- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.8

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x + 0) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9

Addiere $- 12 x^{2} + 8 x$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \cdot 1)$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x) - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2}) + x (8 x) - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2})) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (- 12 (x^{1} x^{2})) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} (- 12 x^{1 + 2}) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{3} (- 12 x^{3}) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.4

Kombiniere $- 12$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 12}{3} x^{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.5

Kombiniere $\frac{- 12}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$\frac{3 (- 4 x^{3})}{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- 4 x^{3})}{3 (1)} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 4 x^{3})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4 x^{3}}{1} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.6.2.4

Dividiere $- 4 x^{3}$ durch $1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 (x^{1} x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 (x^{1} x^{1})) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 x^{1 + 1}) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.11

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{8}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.12

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und $x^{2}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.13

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4}{3} x^{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.14

Kombiniere $\frac{- 4}{3}$ und $x^{3}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.16

Um $- 4 x^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} - 4 x^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.17

Kombiniere $- 4 x^{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4 x^{3} \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4 x^{3} \cdot 3 - 4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.19

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 12 x^{3} - 4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.20

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $- 12 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 16 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8 x^{2}}{3} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.22

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{4}{3} x^{2} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.23

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2}}{3} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{8 x^{2} + 4 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.25

Addiere $8 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{12 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 4.3.26.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.26.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.26.2.4

Dividiere $4 x^{2}$ durch $1$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Schritt 4.3.27

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 3$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{- 3}{3}$

Schritt 4.3.28

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 4.3.28.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3}$

Schritt 4.3.28.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.28.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

Schritt 4.3.28.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.3.28.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{- 1}{1}$

Schritt 4.3.28.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 1$