Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} - x)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x^{2} - x)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x^{2} - x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \ln (x^{2} - x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x^{2} - x)$ und $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} - x) x - \int x \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$ .

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{2 x - 1}{x - 1} d x$

Schritt 6

Dividiere $2 x - 1$ durch $x - 1$ .

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Schritt 6.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$2 x$

$1$

Schritt 6.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2$
	$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			+	$2 x$	-	$2$

Schritt 6.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x - 2$

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$

Schritt 6.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$
					+	$1$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\ln (x^{2} - x) x - \int 2 + \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (x^{2} - x) x - (\int 2 d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Schritt 9

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 9.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 9.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \ln (| u |) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| u |) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \ln (x^{2} - x)$ .

$F (x) =$ $\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$