Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} (\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{- 2} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Schritt 9

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Schritt 11.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $4$ und $1$ .

$4 ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Schritt 11.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Schritt 11.2.3

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $4$ und $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4

Vereinfache.

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Schritt 11.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (- \frac{1}{4} + 1) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$4 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{- 1 + 4}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.5

Addiere $- 1$ und $4$ .

$4 (\frac{3}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.6

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 11.2.4.8.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.8.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.9

Potenziere $4$ mit $2$ .

$3 + 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 11.2.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 + 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.10.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$3 + 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 + 2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.12

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.13

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 + 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.4.15.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$3 + 2 \frac{16 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.15.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$3 + 2 (\frac{15}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.16

Kombiniere $2$ und $\frac{15}{2}$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.17

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$3 + \frac{30}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $2$ .

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Schritt 11.2.4.18.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 + \frac{15}{1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.18.2.4

Dividiere $15$ durch $1$ .

$3 + 15 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.19

Addiere $3$ und $15$ .

$18 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.20

Potenziere $4$ mit $3$ .

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 11.2.4.21

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 11.2.4.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$18 - 3 \frac{64 - 1}{3}$

Schritt 11.2.4.23

Subtrahiere $1$ von $64$ .

$18 - 3 (\frac{63}{3})$

Schritt 11.2.4.24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $63$ und $3$ .

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Schritt 11.2.4.24.1

Faktorisiere $3$ aus $63$ heraus.

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Schritt 11.2.4.24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.24.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Schritt 11.2.4.24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Schritt 11.2.4.24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$18 - 3 (\frac{21}{1})$

Schritt 11.2.4.24.2.4

Dividiere $21$ durch $1$ .

$18 - 3 \cdot 21$

Schritt 11.2.4.25

Mutltipliziere $- 3$ mit $21$ .

$18 - 63$

Schritt 11.2.4.26

Subtrahiere $63$ von $18$ .

$- 45$

Schritt 12