Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{9}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 4}} d x$

Schritt 2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)$

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Schritt 4.1.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| x |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $arcsec (| x |)$ .

$9 (\frac{arcsec (| x |)}{2}]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{arcsec (| x |)}{2}$ bei $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ und $- 2$ .

$9 (\frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{2} - \frac{arcsec (| - 2 |)}{2})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 \frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ist ungefähr $- 1.15470053$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ um und entferne den Absolutwert

$9 \frac{arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Schritt 5.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 2$ und $0$ ist $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (2)}{2}$

Schritt 5.2.4

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3}}{2}$

Schritt 5.3

Um $- \frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}}{2}$

Schritt 5.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}}{2}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}}{2}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 \frac{\frac{π - π \cdot 2}{6}}{2}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$9 \frac{\frac{π - 2 π}{6}}{2}$

Schritt 5.6.2

Subtrahiere $2 π$ von $π$ .

$9 \frac{\frac{- π}{6}}{2}$

Schritt 5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 5.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$9 (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.9

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$9 (- \frac{π}{2 \cdot 6})$

Schritt 5.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$9 (- \frac{π}{12})$

Schritt 5.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{12}$ in den Zähler.

$9 \frac{- π}{12}$

Schritt 5.10.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 (3) \frac{- π}{12}$

Schritt 5.10.3

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Schritt 5.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Schritt 5.10.5

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{- π}{4}$

Schritt 5.11

Kombiniere $3$ und $\frac{- π}{4}$ .

$\frac{3 (- π)}{4}$

Schritt 5.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Schritt 5.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 π}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3 π}{4}$

Dezimalform:

$- 2.35619449 \dots$

Schritt 7