Analysis Beispiele

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{e^{3 t} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - lim_{t \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{e^{lim_{t \to 0} 3 t} - lim_{t \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{0}{e^{3 lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{e^{3 lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{e^{3 t} - 1} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 t} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 3 t$ .

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Schritt 1.3.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Schritt 1.3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Schritt 1.3.4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Schritt 1.3.4.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Schritt 1.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Schritt 1.3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Schritt 1.3.4.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Schritt 1.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t} + 0}$

Schritt 1.3.6

Addiere $3 e^{3 t}$ und $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t}}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t}}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{e^{lim_{t \to 0} 3 t}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{e^{3 lim_{t \to 0} t}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{e^{3 lim_{t \to 0} t}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{e^{3 \cdot 0}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{1 \cos (0)}{3 e^{3 \cdot 0}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (0)}{3 e^{3 \cdot 0}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{\cos (0)}{3 e^{0}}$

Schritt 4.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{\cos (0)}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$