Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} + x + 1} + x$

Schritt 1

Multipliziere, um den Zähler zu rationalisieren.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x + 1} + x) (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x)}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler unter Verwendung der FOIL-Methode aus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + x + 1} (- x) + \sqrt{x^{2} + x + 1} x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Schritt 2.2.2

Addiere $x + 1$ und $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Schritt 3

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = - \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 4.2.2.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 4.2.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 4.2.2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{1 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 6.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.2.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Addiere $1 + 0$ und $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Schritt 9.2.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 9.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 9.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 1 - 1}$

Schritt 9.2.2.6

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{1}{- 2}$

Schritt 9.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$