Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7

Separiere Brüche.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 9

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 10

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Schritt 11

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 14

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 15.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 15.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 16

Die Lösung der Gleichung $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 18.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 18.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 18.1.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 18.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 18.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 18.1.5

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 18.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 18.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 18.2.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 18.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 18.2.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 19

$x = - \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{π}{4}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.2

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.4

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Schritt 20.2.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 20.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 20.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 20.2.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 20.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 20.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 20.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 20.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 20.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 20.2.2.3.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Schritt 20.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 22.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 22.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 22.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 22.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 22.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 22.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 22.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 22.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 22.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 22.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 22.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 22.2.3.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \sqrt{2}$

Schritt 23

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 24

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 24.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 24.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 24.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 24.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 24.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 24.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 24.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 24.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 24.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 24.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 24.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 24.2.2.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 24.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 24.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 24.2.2.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Schritt 24.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Schritt 25

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 26