Analysis Beispiele

$\int 20 x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Schritt 1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$20 \int x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Schritt 2

Sei $u = 5 x^{4} - 1$ . Dann ist $d u = 20 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{20} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 5 x^{4} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $5 x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} - 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $20 x^{3}$ und $0$ .

$20 x^{3}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$20 \int \sec (u) \tan (u) \frac{1}{20} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{20}$ und $\sec (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u)}{20} \tan (u) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{\sec (u)}{20}$ und $\tan (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u) \tan (u)}{20} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{20}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{20}$ aus dem Integral.

$20 (\frac{1}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{20}$ und $20$ .

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \sec (u) \tan (u) d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int \sec (u) \tan (u) d u$ mit $1$ .

$\int \sec (u) \tan (u) d u$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\sec (u)$ gleich $\sec (u) \tan (u)$ ist, ist das Integral von $\sec (u) \tan (u)$ gleich $\sec (u)$ .

$\sec (u) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{4} - 1$ .

$\sec (5 x^{4} - 1) + C$