Analysis Beispiele

$\int 2 \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3.6.5

Vereinfache.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{x}}{x}$ an.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.5

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.5.5

Vereinfache.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.6.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.6.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

Schritt 1.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

Schritt 1.6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{1}{x}) x} d x$

Schritt 1.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 2 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}) x} d x$

Schritt 1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 2 \sqrt{\frac{x + 1}{x} x} d x$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{x + 1}{x}$ und $x$ .

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

Schritt 1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

Schritt 1.10.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$\int 2 \sqrt{x + 1} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sqrt{x + 1} d x$

Schritt 3

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$