Analysis Beispiele

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x e^{- x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$- 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{- x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 3.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- e^{- x})$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 2 e^{- x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (x (- e^{- x})) - 2 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 (x (e^{- x})) - 2 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 e^{- x}$ von $- 2 e^{- x}$ .

$2 x e^{- x} - 4 e^{- x}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$2 e^{- x} x - 4 e^{- x}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren in $2 e^{- x} x - 4 e^{- x}$ um.

$2 x e^{- x} - 4 e^{- x}$