Analysis Beispiele

$\int \frac{x}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Schritt 1.1.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{A {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Schritt 1.1.5.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$x = A + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Schritt 1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(1 + 4 x)}^{2}$ und $1 + 4 x$ .

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Schritt 1.1.5.2.1

Faktorisiere $1 + 4 x$ aus $(B) {(1 + 4 x)}^{2}$ heraus.

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{1 + 4 x}$

Schritt 1.1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.5.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Schritt 1.1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Schritt 1.1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = A + \frac{B (1 + 4 x)}{1}$

Schritt 1.1.5.2.2.4

Dividiere $B (1 + 4 x)$ durch $1$ .

$x = A + B (1 + 4 x)$

Schritt 1.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A + B \cdot 1 + B (4 x)$

Schritt 1.1.5.4

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$x = A + B + B (4 x)$

Schritt 1.1.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = A + B + 4 B x$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.6.1

Bewege $B$ .

$x = A + B + 4 x B$

Schritt 1.1.6.2

Bewege $B$ .

$x = A + 4 x B + B$

Schritt 1.1.6.3

Stelle $A$ und $4 x B$ um.

$x = 4 x B + A + B$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = 4 B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Löse in $1 = 4 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $4 B = 1$ um.

$4 B = 1$

$0 = A + B$

Schritt 1.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 B = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 B = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Schritt 1.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Schritt 1.3.1.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $0 = A + B$ durch $\frac{1}{4}$ .

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3

Löse in $0 = A + \frac{1}{4}$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A + \frac{1}{4} = 0$ um.

$A + \frac{1}{4} = 0$

$B = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = - \frac{1}{4} B = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

Schritt 1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Schritt 1.5.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Schritt 1.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + 4 x}$

Schritt 1.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{1 + 4 x}$ .

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = 1 + 4 x$ . Dann ist $d u_{1} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = 1 + 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 5.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$0 + 4$

Schritt 5.1.4

Addiere $0$ und $4$ .

$4$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{1}{16} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 8.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.2.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{16} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 8.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Schritt 10

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4 x} d x$

Schritt 11

Sei $u_{2} = 1 + 4 x$ . Dann ist $d u_{2} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = 1 + 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Schritt 11.1.2

Differenziere.

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Schritt 11.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 11.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 11.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 11.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Schritt 11.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$0 + 4$

Schritt 11.1.4

Addiere $0$ und $4$ .

$4$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Schritt 12.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 15

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{16} (- \frac{1}{u_{1}}) + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 16.2

Vereinfache.

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Schritt 16.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 16.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 16.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{16 u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 17.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| 1 + 4 x |) + C$