Analysis Beispiele

$\frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{1}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Schritt 5

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Faktorisiere den Bruch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 - 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{{(2 (1) - 8 x)}^{3}}$

Schritt 5.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{1}{{(2 (1) + 2 (- 4 x))}^{3}}$

Schritt 5.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 4 x)$ heraus.

$\frac{1}{{(2 (1 - 4 x))}^{3}}$

Schritt 5.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 (1 - 4 x)$ an.

$\frac{1}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}}$

Schritt 5.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}}$

Schritt 5.1.3

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 5.1.4

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.5

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}$ .

$\frac{1 (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 ({(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 {(1 - 4 x)}^{3}}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.1.2

Dividiere $(A) \cdot (2^{3})$ durch $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{3}) + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 = A \cdot 8 + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = 8 \cdot A + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(1 - 4 x)}^{3}$ und ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.4.1

Faktorisiere ${(1 - 4 x)}^{2}$ aus $(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ heraus.

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 = 8 A + \frac{B (2^{3} (1 - 4 x))}{1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.4.2.4

Dividiere $B (2^{3} (1 - 4 x))$ durch $1$ .

$1 = 8 A + B (2^{3} (1 - 4 x)) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 2^{3} B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 = 8 A + 8 B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.7

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 8 A + 8 B \cdot 1 + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.8

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 8 B + 8 \cdot (- 4 B x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.10

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(1 - 4 x)}^{3}$ und $1 - 4 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.11.1

Faktorisiere $1 - 4 x$ aus $(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ heraus.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{1 - 4 x}$

Schritt 5.1.8.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.11.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})}{1}$

Schritt 5.1.8.11.2.4

Dividiere $C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$ durch $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$

Schritt 5.1.8.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 2^{3} C {(1 - 4 x)}^{2}$

Schritt 5.1.8.13

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C {(1 - 4 x)}^{2}$

Schritt 5.1.8.14

Schreibe ${(1 - 4 x)}^{2}$ als $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ um.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C ((1 - 4 x) (1 - 4 x))$

Schritt 5.1.8.15

Multipliziere $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Schritt 5.1.8.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Schritt 5.1.8.15.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Schritt 5.1.8.16

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.16.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.16.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Schritt 5.1.8.16.1.2

Mutltipliziere $- 4 x$ mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Schritt 5.1.8.16.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 x (- 4 x))$

Schritt 5.1.8.16.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x \cdot x))$

Schritt 5.1.8.16.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.16.1.5.1

Bewege $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)))$

Schritt 5.1.8.16.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x^{2}))$

Schritt 5.1.8.16.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2})$

Schritt 5.1.8.16.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 8 x + 16 x^{2})$

Schritt 5.1.8.17

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C \cdot 1 + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Schritt 5.1.8.18

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.18.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Schritt 5.1.8.18.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 C (16 x^{2})$

Schritt 5.1.8.18.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Schritt 5.1.8.19

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.19.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Schritt 5.1.8.19.2

Mutltipliziere $8$ mit $16$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Schritt 5.1.9

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.9.1

Bewege $B$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Schritt 5.1.9.2

Bewege $8 C$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 C$

Schritt 5.1.9.3

Bewege $8 B$ .

$1 = 8 A - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 B + 8 C$

Schritt 5.1.9.4

Bewege $8 A$ .

$1 = - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.1.9.5

Bewege $- 64 C x$ .

$1 = - 32 x B + 128 C x^{2} - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.1.9.6

Stelle $- 32 x B$ und $128 C x^{2}$ um.

$1 = 128 C x^{2} - 32 x B - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = 128 C$

Schritt 5.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 32 B - 64 C$

Schritt 5.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Löse in $0 = 128 C$ nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $128 C = 0$ um.

$128 C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $128 C = 0$ durch $128$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $128 C = 0$ durch $128$ .

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $128$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.3.1.2.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.3.1

Dividiere $0$ durch $128$ .

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $0$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Ersetze alle $C$ in $0 = - 32 B - 64 C$ durch $0$ .

$0 = - 32 B - 64 \cdot 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Vereinfache $- 32 B - 64 \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 64$ mit $0$ .

$0 = - 32 B + 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Addiere $- 32 B$ und $0$ .

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 5.3.2.3

Ersetze alle $C$ in $1 = 8 A + 8 B + 8 C$ durch $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 (0)$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Schritt 5.3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1

Vereinfache $8 A + 8 B + 8 (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 0$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Schritt 5.3.2.4.1.2

Addiere $8 A + 8 B$ und $0$ .

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Schritt 5.3.3

Löse in $0 = - 32 B$ nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 32 B = 0$ um.

$- 32 B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Schritt 5.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 32 B = 0$ durch $- 32$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 32 B = 0$ durch $- 32$ .

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Schritt 5.3.3.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Schritt 5.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 32$ .

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Schritt 5.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $0$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $1 = 8 A + 8 B$ durch $0$ .

$1 = 8 A + 8 (0)$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1

Vereinfache $8 A + 8 (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$1 = 8 A + 0$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Addiere $8 A$ und $0$ .

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 5.3.5

Löse in $1 = 8 A$ nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $8 A = 1$ um.

$8 A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 5.3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $8 A = 1$ durch $8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 A = 1$ durch $8$ .

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 5.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 5.3.5.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 5.3.6

Löse das Gleichungssystem.

$A = \frac{1}{8} B = 0 C = 0$

Schritt 5.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{1}{8}, B = 0, C = 0$

Schritt 5.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{8}}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Schritt 5.5.2

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Schritt 5.5.4

Dividiere $0$ durch ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + \frac{0}{1 - 4 x}$

Schritt 5.5.5

Dividiere $0$ durch $1 - 4 x$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + 0$

Schritt 5.5.6

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$5 \int \frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x)$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $5$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Schritt 8

Sei $u = 1 - 4 x$ . Dann ist $d u = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Es sei $u = 1 - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Differenziere $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Schritt 8.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 8.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 8.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$0 - 4$

Schritt 8.1.4

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Schritt 9.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{5}{8} (- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{5}{8} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u))$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $\frac{5}{8}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5}{8 \cdot 4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$- \frac{5}{32} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 12.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 12.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 12.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{- 3} d u$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Schreibe $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ als $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ um.

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Schritt 14.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Schritt 14.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Schritt 14.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{5}{32}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 14.2.4

Mutltipliziere $\frac{5}{32}$ mit $1$ .

$\frac{5}{32} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 14.2.5

Mutltipliziere $\frac{5}{32}$ mit $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{5}{32 (2 u^{2})} + C$

Schritt 14.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$\frac{5}{64 u^{2}} + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $1 - 4 x$ .

$\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$