Analysis Beispiele

$y = x^{2} e^{x} - x e^{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - x e^{x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} e^{x} - x e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x}) - e^{x}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $x e^{x}$ von $e^{x} (2 x)$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Bewege $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

Schritt 3.4.2.1.2

Subtrahiere $x e^{x}$ von $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - e^{x}$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$

Schritt 3.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$ um.

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$