Analysis Beispiele

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Schritt 4

Sei $x = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (t)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\tan (t) \sec (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 5.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{\tan (t)}$ und $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $\tan (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Schritt 5.2.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ zu dividieren.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Schritt 5.2.3.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\int \csc (t) d t$

Schritt 6

Das Integral von $\csc (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$