Analysis Beispiele

$x^{5} - 9 x^{2} + 4 x - 1$

Schritt 1

Schreibe $x^{5} - 9 x^{2} + 4 x - 1$ als Funktion.

$f (x) = x^{5} - 9 x^{2} + 4 x - 1$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{5} - 9 x^{2} + 4 x - 1 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{5} d x + \int - 9 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 1 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int - 9 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 1 d x$

Schritt 6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 9$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 1 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x d x + \int - 1 d x$

Schritt 8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\frac{x^{6}}{6} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x + C$

Schritt 11.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{6} x^{6} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{5} - 9 x^{2} + 4 x - 1$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{6} x^{6} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x + C$