Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{5 x + 18}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x + 18}$ als ${(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 x + 18$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x + 18$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x + 18$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 1.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 1.12

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

Schritt 1.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.13.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

Schritt 1.13.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ und $5$ .

$\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Schritt 2.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(5 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 x + 18$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x + 18$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x + 18$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Schritt 2.7.2

Kombiniere ${(5 x + 18)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{{(5 x + 18)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(5 x + 18)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{2 (2 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (5 x + 18)$

Schritt 2.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x + 18)$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (18))$

Schritt 2.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (18))$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (18))$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (5 + \frac{d}{d x} (18))$

Schritt 2.12

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (5 + 0)$

Schritt 2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.13.1

Addiere $5$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 5$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.13.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 \cdot 5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.13.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.13.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 25}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.13.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{25}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x + 18}$ als ${(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 x + 18$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x + 18$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x + 18$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 4.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 4.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 4.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 4.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 4.1.7.3

Bringe ${(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Schritt 4.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 4.1.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 4.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 4.1.11

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 4.1.12

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

Schritt 4.1.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.13.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

Schritt 4.1.13.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ und $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$5 = 0$

Schritt 5.3

Da $5 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{5}{2 \sqrt{{(5 x + 18)}^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{5}{2 \sqrt{5 x + 18}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{5}{2 \sqrt{5 x + 18}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{5 x + 18} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{5 x + 18})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x + 18}$ als ${(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(5 x + 18)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (5 x + 18) = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (5 x) + 4 \cdot 18 = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 x + 4 \cdot 18 = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $18$ .

$20 x + 72 = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$20 x + 72 = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Subtrahiere $72$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x = - 72$

Schritt 6.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $20 x = - 72$ durch $20$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $20 x = - 72$ durch $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{- 72}{20}$

Schritt 6.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 6.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 x}{20} = \frac{- 72}{20}$

Schritt 6.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 72}{20}$

Schritt 6.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 72$ und $20$ .

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Schritt 6.3.3.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 72$ heraus.

$x = \frac{4 (- 18)}{20}$

Schritt 6.3.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{4 \cdot - 18}{4 \cdot 5}$

Schritt 6.3.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \cdot - 18}{4 \cdot 5}$

Schritt 6.3.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 18}{5}$

Schritt 6.3.3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{18}{5}$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 x + 18}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 x + 18 < 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$5 x < - 18$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x < - 18$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x < - 18$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} < \frac{- 18}{5}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} < \frac{- 18}{5}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 18}{5}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x < - \frac{18}{5}$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - \frac{18}{5}$

$(- \infty, - \frac{18}{5}]$

$x \leq - \frac{18}{5}$

$(- \infty, - \frac{18}{5}]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{18}{5}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{18}{5}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{25}{4 {(5 (- \frac{18}{5}) + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{18}{5}$ in den Zähler.

$- \frac{25}{4 {(5 (\frac{- 18}{5}) + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{25}{4 {(5 (\frac{- 18}{5}) + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{25}{4 {(- 18 + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1

Addiere $- 18$ und $18$ .

$- \frac{25}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{25}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{25}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{25}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{25}{4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{25}{4 \cdot 0}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$- \frac{25}{0}$

Schritt 9.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{25}{0}$

Schritt 9.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11