Analysis Beispiele

$y = 5 \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 9}$ als ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Schritt 4.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ und $5$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 4.10

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 4.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 4.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 4.11.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 4.11.4

Kombiniere $\frac{10}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{10 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.11.5

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{2 (5 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (5 x)}{2 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$