Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{- 7 x^{2}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{- 7}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{x^{2}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2} + 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 0} x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Ziehe den Exponenten $5$ von $x^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0^{2} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.7.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0 + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.7.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.7.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.7.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.7.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 4 x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{5}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 4 \cdot 5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 20 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{2 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{x}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 20 x^{4} + 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 20 x^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.2

Ziehe den Term $20$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.3

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.4

Ziehe den Term $18$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 18 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0^{4} + 18 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0^{4} + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $18$ mit $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4} + 18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4} + 18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x^{4} + 18 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{4}]$ .

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Schritt 4.3.3.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{4}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $20$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Schritt 4.3.4.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.4.3

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18}{1}$

Schritt 4.4

Dividiere $80 x^{3} + 18$ durch $1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} 80 x^{3} + 18$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 80 x^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $80$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

Schritt 5.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $18$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 18)$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Schritt 7.2

Multipliziere $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 7} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- \frac{1}{14} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Schritt 7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{14} (80 \cdot 0 + 18)$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $80$ mit $0$ .

$- \frac{1}{14} (0 + 18)$

Schritt 7.4

Addiere $0$ und $18$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 18$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{14}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{14} \cdot 18$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 18$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 9)$

Schritt 7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 9)$

Schritt 7.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{7} \cdot 9$

Schritt 7.6

Kombiniere $\frac{- 1}{7}$ und $9$ .

$\frac{- 1 \cdot 9}{7}$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{- 9}{7}$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{7}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{9}{7}$

Dezimalform:

$- 1.\overline{285714}$