Analysis Beispiele

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{6} \sqrt{x} - 12}{x - 6}$

Schritt 1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 6} \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2 \sqrt{lim_{x \to 6} x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2.1.4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\frac{2 \sqrt{6 \cdot 6} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{2 \sqrt{36} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{6^{2}} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 \cdot 6 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6}$

Schritt 2.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\frac{0}{6 - 1 \cdot 6}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{0}{6 - 6}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sqrt{x \cdot 6} - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{6 \cdot x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x}$ als ${(6 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.3

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.4

Wende die Produktregel auf $6 (x)$ an.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 (6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.5

Da $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.13

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.14

Kombiniere $6^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.15

Bringe $2$ auf die linke Seite von $6^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.16

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.17

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.3.18

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.4

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Schritt 2.3.8

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Schritt 2.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 2.5

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $6^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{6}$ um.

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 2.5.2

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}} \cdot 1$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $\sqrt{6}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{6} lim_{x \to 6} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\sqrt{6} \frac{lim_{x \to 6} 1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\sqrt{6} \frac{1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 6} x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{6}$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$1$