Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{0} (\frac{1}{2} t^{4} + \frac{1}{4} t^{3} - t) d t$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 2}^{0} \frac{1}{2} t^{4} + \frac{1}{4} t^{3} - t d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{0} \frac{1}{2} t^{4} d t + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{0} t^{4} d t + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{4}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{0} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - t d t$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - \int_{- 2}^{0} t d t$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{1}{2} t^{2}]_{- 2}^{0})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{t^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{1}{5} t^{5}$ bei $0$ und $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{t^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{1}{4} t^{4}$ bei $0$ und $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - (\frac{t^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Schritt 9.2.3

Berechne $\frac{t^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4

Vereinfache.

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Schritt 9.2.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.3

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{5} \cdot - 32) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.4

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 32 (\frac{1}{5})) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.5

Kombiniere $32$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} (0 + \frac{32}{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.6

Addiere $0$ und $\frac{32}{5}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{32}{5}$ .

$\frac{32}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{32}{10} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $10$ .

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Schritt 9.2.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$\frac{2 (16)}{10} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.11

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.12

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - \frac{1}{4} \cdot 16) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.13

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{4})) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.14

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $4$ .

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Schritt 9.2.4.15.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{- 4}{1}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.15.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - 4) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.16

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} \cdot - 4 - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.17

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 4}{4} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 9.2.4.18.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.18.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{5} + \frac{- 1}{1} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.18.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{16}{5} - 1 - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.19

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.20

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 - 1 \cdot 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.4.22.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{16 - 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.22.2

Subtrahiere $5$ von $16$ .

$\frac{11}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.23

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{11}{5} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.2.4.24.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{11}{5} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.24.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{11}{5} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11}{5} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11}{5} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.24.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.25

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{4}{2})$

Schritt 9.2.4.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 9.2.4.26.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Schritt 9.2.4.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.26.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Schritt 9.2.4.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Schritt 9.2.4.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2}{1})$

Schritt 9.2.4.26.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{11}{5} - (0 - 1 \cdot 2)$

Schritt 9.2.4.27

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{11}{5} - (0 - 2)$

Schritt 9.2.4.28

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{11}{5} - - 2$

Schritt 9.2.4.29

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{11}{5} + 2$

Schritt 9.2.4.30

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{11}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 9.2.4.31

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{11}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Schritt 9.2.4.32

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{11 + 2 \cdot 5}{5}$

Schritt 9.2.4.33

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.4.33.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{11 + 10}{5}$

Schritt 9.2.4.33.2

Addiere $11$ und $10$ .

$\frac{21}{5}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{21}{5}$

Dezimalform:

$4.2$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{1}{5}$

Schritt 11