Analysis Beispiele

Berechne $\int (- 4 x^{- 3} - 20 x^{- 5}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int - 4 x^{- 3} - 20 x^{- 5} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int - 20 x^{- 5} d x$

Schritt 3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int - 20 x^{- 5} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 20 x^{- 5} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 20 x^{- 5} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 20 x^{- 5} d x$

Schritt 6

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 20$ aus dem Integral.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 20 \int x^{- 5} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 20 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 20 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Schritt 8.1.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 20 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{2}{x^{2}} - 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$\frac{2}{x^{2}} + 20 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{20}{4 x^{4}} + C$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $4$ .

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Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 5}{4 x^{4}} + C$

Schritt 8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 5}{4 (x^{4})} + C$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 5}{4 x^{4}} + C$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{4}} + C$