Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{5 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $5$ von ${(3 x - 1)}^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 x - 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(0 - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(0 - 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(- 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(3 x - 1)}^{5} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.7

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $15 {(3 x - 1)}^{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4}}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $15 {(3 x - 1)}^{4}$ durch $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 15 {(3 x - 1)}^{4}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $15$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot 15 lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{4}$

Schritt 3.2

Ziehe den Exponenten $4$ von ${(3 x - 1)}^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(lim_{x \to 0} 3 x - 1)}^{4}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1)}^{4}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}^{4}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{4}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{1}{5} \cdot (5 (3)) {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 3) {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 {(0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 {(0 - 1)}^{4}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$3 {(- 1)}^{4}$

Schritt 5.4

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$