Analysis Beispiele

$y = \sec (x) + \tan (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sec (x) + \tan (x))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sec (x) + \tan (x)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\sec (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sec (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Schritt 3.2.1.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$\sec (x) \tan (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \tan (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3.1.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$ um.

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$ um.

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x) = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x' \sec (x)$ aus $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x' \sec (x)$ aus $x' \sec^{2} (x)$ heraus.

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x) = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x' \sec (x)$ aus $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x)$ heraus.

$x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ durch $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ durch $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ .

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (x)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (x) + \sec (x)$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Separiere Brüche.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Schritt 5.4.3.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 5.4.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} (1 \cos (x))$

Schritt 5.4.3.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cos (x)$

Schritt 5.4.3.5

Kombiniere $\frac{1}{\tan (x) + \sec (x)}$ und $\cos (x)$ .

$x' = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$