Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} & x \neq - 3 \\ 9 & x = - 3 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ , wenn sich $x$ $- 3$ nähert.

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Schritt 1.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 6 x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.2.3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.2.6.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{9 + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$\frac{9 - 18 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$\frac{- 9 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.2.6.3

Addiere $- 9$ und $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 1.1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{0}{- 3 + 3}$

Schritt 1.1.1.3.3

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Schritt 1.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Schritt 1.1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Schritt 1.1.3.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Schritt 1.1.3.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Schritt 1.1.3.6

Addiere $2 x + 6$ und $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Schritt 1.1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Schritt 1.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Schritt 1.1.3.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + 0}$

Schritt 1.1.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1}$

Schritt 1.1.4

Dividiere $2 x + 6$ durch $1$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + 6$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6$

Schritt 1.2.3

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$2 lim_{x \to - 3} x + 6$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$2 \cdot - 3 + 6$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 + 6$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 6$ und $6$ .

$0$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$9$

Schritt 3

Da die Grenze von $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ bei Annäherung von $x$ an $- 3$ nicht gleich dem Funktionswert bei $x = - 3$ ist, ist die Funktion bei $x = - 3$ nicht kontinuierlich.

Nicht stetig

Schritt 4