Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \sin (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \sin (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = \sin (2 x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = \sin (2 x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Schritt 1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $e^{u_{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

Schritt 5.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e$ .

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.85914091 \dots$