Analysis Beispiele

$y = e^{8 x + 9}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{8 x + 9})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 8 x + 9$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x + 9$ .

$e^{8 x + 9} \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$e^{8 x + 9} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{8 x + 9} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{8 x + 9} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$e^{8 x + 9} (8 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.2.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{8 x + 9} (8 + 0)$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $8$ und $0$ .

$e^{8 x + 9} \cdot 8$

Schritt 3.2.6.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $e^{8 x + 9}$ .

$8 e^{8 x + 9}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 8 e^{8 x + 9}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 e^{8 x + 9}$