Analysis Beispiele

$y = \frac{x + 1}{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $1 \cdot 1$ von $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}}$