Analysis Beispiele

$\frac{1}{| x |}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{| x |}$ als ${| x |}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{| x |}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = | x |$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $| x |$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $| x |$ .

$- {| x |}^{- 2} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 3

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$- {| x |}^{- 2} \frac{x}{| x |}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{x}{| x |}$ und ${| x |}^{- 2}$ .

$- \frac{x {| x |}^{- 2}}{| x |}$

Schritt 4.2

Bringe ${| x |}^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{| x | {| x |}^{2}}$

Schritt 5

Multipliziere $| x |$ mit ${| x |}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $| x |$ mit ${| x |}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Potenziere $| x |$ mit $1$ .

$- \frac{x}{{| x |}^{1} {| x |}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x}{{| x |}^{1 + 2}}$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{x}{{| x |}^{3}}$