Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Schritt 3.1.2

Schreibe $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ als ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x) + \cos (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x) + \cos (x)$ .

$3 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 3.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereine die Terme

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Schritt 3.7.1.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 3.7.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 3.7.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ um.

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$