Analysis Beispiele

$y = 5 x \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = 5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.12.3

Kombiniere $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$5 (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.16

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.16.1

Addiere $1$ und $1$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.16.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 4.18

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.19

Um ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.21

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.21.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.21.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.21.3

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.21.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.22

Vereinfache ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$5 \frac{x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.23

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$5 \frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.24

Kombiniere $5$ und $\frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$