Analysis Beispiele

$y = x^{2} {(2 x^{3} - 1)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(2 x^{3} - 1)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 1)}^{3}] + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 x^{3} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{3} - 1$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{3} - 1$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + 0)) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2})) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2} x^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} (2 x)$

Schritt 6

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 x^{3} - 1)}^{3}$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 \cdot {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ aus $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ aus $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2})$ heraus.

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ aus $2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ heraus.

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ aus $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$ heraus.

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

Schritt 7.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \cdot x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

Schritt 7.2.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (9 \cdot x^{3} + 2 x^{3} - 1)$

Schritt 7.2.3

Addiere $9 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.3

Schreibe ${(2 x^{3} - 1)}^{2}$ als $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ um.

$2 x ((2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.4

Multipliziere $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3} - 1) - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x (2 \cdot 2 x^{3} x^{3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.5.1.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x (2 \cdot 2 (x^{3} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x (2 \cdot 2 x^{3 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.5.1.2.3

Addiere $3$ und $3$ .

$2 x (2 \cdot 2 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x (4 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $- 2 x^{3}$ .

$2 x (4 x^{6} - 4 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x (4 x^{6}) + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.7

Vereinfache.

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Schritt 7.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.8.1

Multipliziere $x$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.8.1.1

Bewege $x^{6}$ .

$(2 \cdot 4 (x^{6} x) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.8.1.2

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $x$ .

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Schritt 7.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(2 \cdot 4 (x^{6} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 \cdot 4 x^{6 + 1} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.8.1.3

Addiere $6$ und $1$ .

$(2 \cdot 4 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.8.3

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.8.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.8.3.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 7.8.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x^{1}) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.8.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{3 + 1} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.8.3.3

Addiere $3$ und $1$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.8.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Schritt 7.9

Multipliziere $(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$8 x^{7} (11 x^{3}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.10.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \cdot 11 x^{7} x^{3} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.2

Multipliziere $x^{7}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.10.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$8 \cdot 11 (x^{3} x^{7}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \cdot 11 x^{3 + 7} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.2.3

Addiere $3$ und $7$ .

$8 \cdot 11 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.3

Mutltipliziere $8$ mit $11$ .

$88 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{4} x^{3} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.6

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.10.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{3 + 4} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.6.3

Addiere $3$ und $4$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $11$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.10

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.10.10.1

Bewege $x^{3}$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.10.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 7.10.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x^{1}) + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{3 + 1} + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.10.3

Addiere $3$ und $1$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.11

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

Schritt 7.10.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

Schritt 7.11

Subtrahiere $88 x^{7}$ von $- 8 x^{7}$ .

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

Schritt 7.12

Addiere $8 x^{4}$ und $22 x^{4}$ .

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 30 x^{4} - 2 x$