Analysis Beispiele

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (\frac{x}{2})$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2})}{2} \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ und $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$ heraus.

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4.2.4

Dividiere $- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \cdot 1$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$