Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}}{5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 0} \ln (1 - 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{4 \ln (1 - lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.8

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.10.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{4 \ln (1 + 0) + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.10.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{4 \ln (1) + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.10.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.10.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.10.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.10.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.2.10.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x}$

Schritt 1.3.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x}$

Schritt 1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4 x}$

Schritt 1.3.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{2} + 4 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Schritt 1.3.6.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 4 \cdot 0}$

Schritt 1.3.6.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}}{5 x^{2} + 4 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \ln (1 - 2 x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.8

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.9

Kombiniere $\frac{1}{1 - 2 x}$ und $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{- 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (- \frac{2}{1 - 2 x}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \frac{2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.12

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4 \cdot 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + 2 (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + 6 x^{2}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.1.1

Um $6 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{6 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.5.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 8 + 6 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.8.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + 4 \cdot 1}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + 4}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1} \cdot \frac{1}{10 x + 4}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}$ mit $\frac{1}{10 x + 4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 x^{2} (1 - 2 x) - 8$ und $10 x + 4$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2} (1 - 2 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x)) - 8}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x)) + 2 (- 4)}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2} (1 - 2 x)) + 2 (- 4)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x) - 4)}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

Schritt 5.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $(- 2 x + 1) (10 x + 4)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x) - 4)}{2 ((- 2 x + 1) (5 x + 2))}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x) - 4)}{2 ((- 2 x + 1) (5 x + 2))}$

Schritt 5.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} (1 - 2 x) - 4}{(- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - 2 x) - 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Schritt 8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Schritt 13

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Schritt 15

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} - 2 x + 1 \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

Schritt 16

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

Schritt 17

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

Schritt 18

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

Schritt 19

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 2)}$

Schritt 20

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2)}$

Schritt 21

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

Schritt 22

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 22.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

Schritt 22.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

Schritt 22.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

Schritt 22.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 23

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 23.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 23.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 23.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 23.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 23.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 23.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0 - 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 23.1.7

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{- 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 23.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 23.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{- 4}{(0 + 1) (5 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 23.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{- 4}{1 (5 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 23.2.3

Mutltipliziere $5 \cdot 0 + 2$ mit $1$ .

$\frac{- 4}{5 \cdot 0 + 2}$

Schritt 23.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 2}$

Schritt 23.2.5

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{- 4}{2}$

Schritt 23.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$- 2$