Analysis Beispiele

$\int \frac{- e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Sei $u = \frac{1}{x}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , folglich $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \frac{1}{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.1.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Schritt 3.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \int - e^{u} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- - \int e^{u} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \int e^{u} d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$\int e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{1}{x}} + C$