Analysis Beispiele

$x^{4} + \sin (y) = x^{3} y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (x^{3} y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + \sin (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$4 x^{3} + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 x^{3} + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x^{3} + \cos (y) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Schritt 3.6

Stelle um.

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Schritt 3.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x^{3} + \cos (y) y' = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $4 x^{3} + \cos (y) y'$ um.

$4 x^{3} + y' \cos (y) = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 x^{3} y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} + y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $4 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (y) - 2 x^{3} y y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (y)$ heraus.

$y' (\cos (y)) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x^{3} y y'$ heraus.

$y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y)$ heraus.

$y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ durch $\cos (y) - 2 x^{3} y$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ durch $\cos (y) - 2 x^{3} y$ .

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y) - 2 x^{3} y$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} - \frac{4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Schritt 5.5.3.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Schritt 5.5.3.3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Schritt 5.5.3.3.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ heraus.

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$