Analysis Beispiele

$\ln (x) x - x$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x) x - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x) x] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x) x]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\ln (x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) \cdot 1 + x \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\ln (x) + x \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) + \frac{x}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) + \frac{x}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) + 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (x) + 1 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\ln (x) + 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (x) + 1 - 1$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\ln (x) + 0$

Schritt 4.2

Addiere $\ln (x)$ und $0$ .

$\ln (x)$