Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{4} + 2 x^{2} + x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{4} + 2 x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{1}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 4}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{- 4}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (\frac{4}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{- 12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\frac{- 12}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 2.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.7.2.4

Dividiere $- 4 x^{2}$ durch $1$ .

$- 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 4 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 x^{2} + 4 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $- 4 x^{2} + 4$ und $0$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} + 4$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 8 x + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 8 x$ und $0$ .

$f''' (x) = - 8 x$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 8 x$ .

$- 8 x$