Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 5$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 1}$ an mit $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$	$5$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$13$

Schritt 2.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(13)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(13)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(5)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$

Schritt 2.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$	$18$

Schritt 2.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Schritt 2.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Schritt 3

Da $1 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $1$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $1$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 5}$ an mit $x = 5$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$	$9$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(9)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(45)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$	$53$

Schritt 4.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(53)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(265)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(5)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$

Schritt 4.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$	$270$

Schritt 4.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Schritt 4.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Schritt 5

Da $5 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $5$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $5$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x + 5}$ an mit $x = - 5$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$	$- 1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$	$13$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(13)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 65)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(5)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$	$- 60$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + - 1 x + 13 + \frac{- 60}{x + 5}$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} - x + 13 - \frac{60}{x + 5}$

Schritt 7

Da $- 5 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 5$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 5$

Schritt 8

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $1, 5$

Untere Schranke: $- 5$

Schritt 9