Analysis Beispiele

$\sqrt{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{1}{x}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 7.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- 2}$ .

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{x^{- 2}}{2})$

Schritt 9.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

Schritt 10.2

Vereine die Terme

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 10.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.3.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

Schritt 10.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Schritt 10.2.3.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Schritt 10.2.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 10.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 10.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Schritt 10.2.3.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$