Analysis Beispiele

$x^{3} \cdot e^{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $x^{3} \cdot e^{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} \cdot e^{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{3} \cdot e^{x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u \cdot e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{u}{2}$ und $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Schritt 11.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Schritt 11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{3} \cdot e^{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$