Analysis Beispiele

$\int \frac{x - 5}{- 2 x + 2} d x$

Schritt 1

Dividiere $x - 5$ durch $- 2 x + 2$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$2$

$x$

$5$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- 2 x$ .

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				+	$x$	-	$1$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$
						-	$4$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int - \frac{1}{2} - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 2 x + 2$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{- 2 x + 2} d x$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2} d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2 (1)} d x$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (1)$ heraus.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Schritt 3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2} x + C + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} x + C - \int \frac{2}{- x + 1} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} x + C - (2 \int \frac{1}{- x + 1} d x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 8

Sei $u = - x + 1$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = - x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 8.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| u |) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $- x + 1$ .

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| - x + 1 |) + C$