Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Schritt 4

Sei $u = x^{3} + 2003$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u = x^{3} + 2003$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $x^{3} + 2003$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2003]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 2003$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2003]$

Schritt 4.1.4

Da $2003$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2003$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \sin (u) d u$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\int \sin (u) d u$ mit $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 2003$ .

$- \cos (x^{3} + 2003) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$ .

$F (x) =$ $- \cos (x^{3} + 2003) + C$