Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- d u = \sin (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $\sin (x)$ von $0$ .

$- \sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Schritt 1.5.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int_{2}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{2}^{0} \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |)]_{2}^{0})$

Schritt 5

Berechne $\ln (| u |)$ bei $0$ und $2$ .

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 2 |))$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 2 |})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$- \ln (\frac{0}{| 2 |})$

Schritt 7.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$- \ln (\frac{0}{2})$

Schritt 7.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$- \ln (0)$

Schritt 7.4

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \ln (0)$

Schritt 8

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert