Analysis Beispiele

$y = x^{2} - 5$ und $y = 4$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} - 5 = 4$

Schritt 1.2

Löse $x^{2} - 5 = 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4 + 5$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $4$ und $5$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $3$ .

$y = 4$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, 4)$

$(- 3, 4)$

$(3, 4)$

$(- 3, 4)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 4 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} - 5 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 3$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 3}^{3} 4 - (x^{2} - 5) d x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 - x^{2} - - 5$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$4 - x^{2} + 5$

$\int_{- 3}^{3} 4 - x^{2} + 5 d x$

Schritt 3.3

Addiere $4$ und $5$ .

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} + 9 d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Schritt 3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Schritt 3.8

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 9 x]_{- 3}^{3}$

Schritt 3.9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $3$ und $- 3$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 x]_{- 3}^{3}$

Schritt 3.9.2

Berechne $9 x$ bei $3$ und $- 3$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3

Vereinfache.

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Schritt 3.9.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 3.9.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.2.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- (9 - \frac{- 27}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $3$ .

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Schritt 3.9.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (9 - \frac{- 9}{1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.4.2.4

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$- (9 - - 9) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$- (9 + 9) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.6

Addiere $9$ und $9$ .

$- 1 \cdot 18 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$- 18 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.8

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$- 18 + 27 - 9 \cdot - 3$

Schritt 3.9.3.9

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 3$ .

$- 18 + 27 + 27$

Schritt 3.9.3.10

Addiere $27$ und $27$ .

$- 18 + 54$

Schritt 3.9.3.11

Addiere $- 18$ und $54$ .

$36$

Schritt 4