Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $100$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $100$ mit $1$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100$

Schritt 1.3

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

Schritt 3

Berechne $100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $20$ und $1$ .

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $20$ mit $21$ .

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $20$ .

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $40$ und $1$ .

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $420$ mit $41$ .

$100 (\frac{17220}{6})$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$2 (50) \frac{17220}{6}$

Schritt 3.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$50 (\frac{17220}{3})$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $50$ und $\frac{17220}{3}$ .

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $50$ mit $17220$ .

$\frac{861000}{3}$

Schritt 3.3.2.4.2

Dividiere $861000$ durch $3$ .

$287000$

Schritt 4

Berechne $500 \sum_{k = 1}^{20} k$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $20$ und $1$ .

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $21$ .

$- 500 (\frac{420}{2})$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 500$ heraus.

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 250 \cdot 420$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 250$ mit $420$ .

$- 105000$

Schritt 5

Berechne $\sum_{k = 1}^{20} 100$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(100) (20)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $100$ mit $20$ .

$2000$

Schritt 6

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$287000 - 105000 + 2000$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $105000$ von $287000$ .

$182000 + 2000$

Schritt 7.2

Addiere $182000$ und $2000$ .

$184000$