Analysis Beispiele

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π)$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = 4 x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\cos (4 x) (4 x') + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 8 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $y$ gleich $- 8 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x x') + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d y} [9 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $y$ gleich $9 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + \frac{d}{d y} [π]$

Schritt 3.5

Da $π$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + 0$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Addiere $\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$ und $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$ um.

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$ um.

$4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x'$ aus $4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x'$ aus $4 x' \cos (4 x)$ heraus.

$x' (4 \cos (4 x)) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x'$ aus $- 16 x x'$ heraus.

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + 9 x' = 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x'$ aus $9 x'$ heraus.

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x)$ heraus.

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $x'$ aus $x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9$ heraus.

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ durch $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ durch $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$