Analysis Beispiele

$(x + 1) \cdot e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $(x + 1) \cdot e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = (x + 1) \cdot e^{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (x + 1) \cdot e^{x} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x + 1$ und $d v = e^{x}$ .

$(x + 1) e^{x} - \int e^{x} d x$

Schritt 5

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$(x + 1) e^{x} - (e^{x} + C)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $(x + 1) e^{x} - (e^{x} + C)$ als $x e^{x} + e^{x} - e^{x} + C$ um.

$x e^{x} + e^{x} - e^{x} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $e^{x}$ von $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0 + C$

Schritt 6.2.2

Addiere $x e^{x}$ und $0$ .

$x e^{x} + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (x + 1) \cdot e^{x}$ .

$F (x) =$ $x e^{x} + C$