Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

Schritt 2

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$3 \int_{0}^{1} \sin (u) d u$

Schritt 3

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$3 (- \cos (u)]_{0}^{1})$

Schritt 4

Berechne $- \cos (u)$ bei $1$ und $0$ .

$3 (- \cos (1) + \cos (0))$

Schritt 5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$3 (- \cos (1) + 1)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\cos (1)$ .

$3 (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.5403023$ .

$3 (- 0.5403023 + 1)$

Schritt 6.3

Addiere $- 0.5403023$ und $1$ .

$3 \cdot 0.45969769$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $3$ mit $0.45969769$ .

$1.37909308$